I. Mục đích đề tài:

-Cải tiến phương pháp phát hiện tính chất và nêu giải pháp cho các bài toán dãy số bằng công cụ lượng giác mà các tài liệu chưa đề cập một cách trực tiếp,toàn diện

-Với cách tiếp cận và giải quyết các vấn đề dãy số nhờ lượng giác ,với các bài toán minh họa ,người đọc sẽ có hứng thú say mê nghiên cứu khoa học, được sử dụng linh hoạt các kiến thức về giải tích như: hàm số ,đa thức,cấp số,dãy số,giới hạn,đạo hàm ,tích phân,phương trình hàm cũng như đại số,lượng giác

-Từ giải pháp trên , giáo viên và học sinh có thể vận dụng để rèn luyện kỹ năng xử lý tình huống,tư duy sáng tạo, giải các bài toán nâng cao ,phức hóa và sáng tác các bài tập hay nhằm ôn luyện phục vụ vào các kỳ thi học sinh giỏi các cấp

II/. Mô tả giải pháp:

1. Thực trạng:

1.1. Những hạn chế:

-Sách giáo khoa, sách tham khảo hiện có, khi đề cập về cách giải các bài toán dãy số thường chỉ sử dụng phương pháp quy nạp đại số, nên chưa làm sáng tỏ được bản chất, cách xác lập dãy số , gây khó khăn cho học sinh khi gặp các bài toán nâng cao như dãy số có công thức truy hồi phi tuyến tính. Đa số các bài toán trên thường phải sử dụng công cụ lượng giác

-Theo quy định của Bộ Giáo dục và Đào tạo, cấu trúc của một đề thi học sinh giỏi hiện nay phải có bài toán kiểm tra về giải tích mà thường là xét các tính chất hàm số, dãy số

1.2 Ưu điểm giải pháp mới:

-Học sinh được trang bị một phương pháp tiếp cận và cách giải các bài toán dãy số phi tuyến nhờ công cụ lượng giác

-Tập cho học sinh bước đầu có hứng thú say mê nghiên cứu khoa học, sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học về giải tích như: hàm số, đa thức, cấp số, dãy số, giới hạn, đạo hàm , tích phân, phương trình hàm cũng như đại số, lượng giác

-Giáo viên nắm bắt phương pháp từ đó sáng tác bài tập phù hợp với đối tượng học sinh mình trực tiếp bồi dưỡng

2.Nội dung giải pháp

2.1 .Tiếp cận và giải bài toán về tính chất dãy số nhờ định dạng lượng giác các số hạng, các hệ số trong công thức truy hồi của dãy số hoặc xét tính chất có trong cung lượng giác của dãy lượng giác .Ta có thể minh họa bằng các ví dụ sau:

Ví dụ 1:Cho dãy (u_n) có u₁=cosa;u₂=cos2a, u_n+1=2cosa.u_n -u_n-1khi n>1.

Tìm S_n =u₁ +u₂ +…+u_n

Giải:

Bằng qui nạp ta có số hạng tổng quát có dạng đa thức lượng giác

u_n=kcosna+lsinna

Theo giả thiết có

Suy ra :k=1;l=0 Vậy : u_n=cosna

S_n =u₁ +u₂ +…+u_n =cosa+cos2a+…+cosna=

Ví dụ 2: Cho dãy số (u_n) , (v_n) có u₀=0;v₀=cosa,

u_n=u_n-1 +2v_n-1sin²a ;v_n= v_n-1 +2u_n-1cos²a khi n>0

Tìm số hạng tổng quát u_n ;v_n

Giải:

Xét u_n +kv_n=(1+2kcos²a )u_n-1 +(k+2sin²a)v_n-1

Cho tỉ lệ 1:k=(1+2kcos²a ):(k+2sin²a) ta có k=tana hoặc k=-tana

suy ra :u_n +tana.v_n=(1+2sina.cosa )u_n-1 +(tana+2sin²a)v_n-1

u_n –tana.v_n=(1-2sina.cosa )u_n-1 +(-tana +2sin²a)v_n-1

Vậy : u_n +tana.v_n=(1+sin2a)(u_n-1 +tana.v_n-1 )

u_n –tana.v_n=(1-sin2a)(u_n-1 –tana.v_n-1 )

Khi đó : u_n +tana.v_n=(1+sin2a)ⁿ(u₀ +tana.v₀ )=(1+sin2a)ⁿ sina

u_n –tana.v_n=(1-sin2a)ⁿ(u₀ –tana.v₀ ) =-(1-sin2a)ⁿ sina

Ta coi u_n ;v_n là nghiệm của hệ bậc nhất

Vậy giải hệ ta có : u_n =

v_n=

Ví dụ 3:(đề được tác giả sáng tác và gửi cho hội đồng ra đề thi quốc gia năm 2008)

Cho dãy số (V_n) trong đó =sin và có u₁= ; u_n=u_n-1+2u_n-2+…+(n-1) u₁;với n nguyên ,n>1

Tìm giới hạn của dãy (V_n) khi n

Giải:

Ta xét cung lượng giác có trong là :

u_n=u_n-1+2u_n-2+…(n-1) u₁

Suy ra u_n-u_n-1=2u_n-2+…(n-1) u₁

= [u_n-2+…(n-2) u₁]+[u_n-2+…+ u₁]

Vậy : u_n-2u_n-1= u_n-2+…+ u₁(*)

Thay n b ởi n-1 có : u_n-1-2u_n-2= u_n-3+…+ u₁(**)

T ừ (*) v (**) ta có : u_n-2u_n-1= u_n-2 + u_n-1-2u_n-2

Suy ra u_n-3u_n-1+ u_n-2 =0.

Phương trình đặc trưng :t²-3t+1=0 có nghiệm ;

Vậy : u_n =A.( )ⁿ+B.( )ⁿ

Do u₁=1; u₂=1 suy ra A=1- ;B=1+

Thử lại u_n =(1- ).( )ⁿ+(1+ ).( )ⁿ thoả bài toán

Suy ra : 3^-nu_n =(1- ).( )ⁿ+(1+ ).( )ⁿ

Do 0< <1,0< <1

nên V_n =sin0 =0

2.2 . Nếu bài toán cho dãy số dạng phi tuyến tính :đa thức, phân thức, hoặc căn thức giống như giải hệ phương trình;tính tích phân,… ta tìm cách lượng giác hóa công thức dãy số.Muốn giải tốt ta cần để ý số hạng đầu và sự tương thích của hệ thức truy hồi với một đặc trưng nào đó của hàm lượng giác .Ta xét một số ví dụ minh họa sau

Ví dụ 1:(đề tác giả sáng tác gửi tham dự kỳ thi Olympic 30/4 ,Miền nam,năm 2005):

Cho dãy số (u_n) có:

a) Chứng minh rằngvới mọi n thuộc Z⁺, ta có

b) Lập dãy số (v_n) biết v_n =

Tìm giới hạn cuả dãy (v_n) khi n

Giải

a) Ta chứng minh u_n > 0 với mọi n thuộc Z⁺.

Thật vậy, u₁ > 0, u₂ > 0.

Giả sử u_n > 0với mọi n k.

Ta có

Vậy, u_n > 0 với mọi n thuộc Z⁺.

Ta lại có

Giả sử

Ta có:

Vậy

Ta lại có và hàm y = e^x là hàm đồng biến trên R.

b) Ta có :

Mặt khác, ta có

Mà

Vậy

Ví dụ 2:  Cho dãy (u_n) và (v_n) :

Tìm số hạng tổng quát u_n và  v_n

Giải:

U₀ =2 =

U₁ = ; V₁ =

U₂ = ; V₂ =

U₃ = ; V₃ =

Chứng minh qui nạp có : U_n =

            

                                           V_n =

2.3.Giải quyết các bài toán thi học sinh giỏi liên quan bằng phương pháp trên ví dụ như:

 Bài 1: (đề thi chọn HSG quốc gia năm 2001)

Cho số thực a  và  dãy số (x_n) có x₀=a ;x_n+1=x_n+sinx_n

Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn khi n và tìm giới hạn đó

Bài 2 (đề thi chọn HSG quốc gia năm 1990)

 Cho dãy (x_n)  có ;x_n=  khi n>1

a/Cần thêm điều kiện gì để dãy đã cho toàn số dương

b/Dãy số có tuần hoàn không ?tại sao?

Bài 3 (đề thi chọn HSG quốc gia năm 1994)

Cho số thực a  và  dãy số (x_n) có x₀=a ;x_n=

Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn khi n và tìm giới hạn đó

 

3 Phạm  vi áp dụng :

Giải pháp trên dùng để bồi dưỡng học sinh khá giỏi trong cấp học trung học phổ thông ,Giáo viên có thể nghiên cứu và sáng tác bài tập để bồi dưỡng  tùy theo đối tượng học sinh của mình

4.Hiệu quả về ứng dụng giải pháp :

Đề tài có ý nghĩa cải tiến phương pháp giải các bài toán  về dãy số nhờ công cụ lượng giác.Đây là tài liệu tác giả dùng để bồi dưỡng cho học sinh các lớp chuyên toán và đội tuyển của tỉnh

Kết quả:Lớp chuyên do bản thân phụ trách đạt 10 giải /14 họcsinh, 2 HCV,1HCB toàn miền Nam