I Mục đích đề tài:

Đưa ra một giải pháp mới để giải và chứng minh sự tồn tại nghiệm phương trình, hệ phương trình; sáng tác bài toán bằng cách sử dụng định lý Lagrange giúp giáo viên, học sinh tiếp cận một phương pháp mà các tài liệu chưa viết hoàn chỉnh, thông qua đó nhằm rèn luyện kỹ năng tư duy và sử dụng kiến thức linh hoạt, tạo hứng thú tìm tòi, khám phá cho học sinh.

II Mô tả giải pháp:

1.Bản chất giải pháp.

1.1 Thực trạng :

- Phương pháp không mẫu mực để giải phương trình và hệ phương trình trong sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo chưa chú trọng đến phương pháp này. Đặc biệt sách giáo khoa và sách bài tập (từ trước đến nay) không đề cập đến phương pháp này.

- Nhiều bài toán nếu không sử dụng phương pháp thì sẽ khó xử lý được .

- Học sinh bị hạn chế trong việc giải một lớp các bài toán và không hiểu được nhiều ý nghĩa của định lý Lagrange.

1.2 Ưu điểm của giải pháp.

- Học sinh được trang bị thêm một phương pháp mới để giải một lớp các bài toán nhanh chóng và hữu hiệu.

- Giáo viên có được một kỹ thuật mới để sáng tác bài toán mới và có thể rất khó.

- Giúp cho học sinh hứng thú trong học tập, biết sử dụng kiến thức linh hoạt và học sinh bước đầu tập dượt sáng tạo trong việc tạo ra bài toán mới.

2.Nội dung giải pháp.

Đường lối chung để sử dụng định lý Lagrange là như sau :

Giả sử ta cần giải phương trình f(x) = 0(*) (trên miền D cho trước nào đó.)

Bước 1. Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x)=g(x).f(x) với mọi x trên D.

Bước 2. Chứng tỏ rằng F(x) nhận giá trị bằng nhau tại một số điểm phân biệt trên D. Giả sử số điểm này là n.     Khi đó theo định lý Lagrange phương trình F’(x)= 0 có n-1 nghiệm trên miền đang xét D.

Bước 3. Chứng tỏ rằng trên miền D phương trình g(x)=0 vô nghiệm.

Bước 4. Chỉ ra các nghiệm của phương trình f(x)=0. Thường bước này ta nhẩm nghiệm hoặc kết hợp với tính đơn điệu của hàm số.

Bước 5. Kết luận về nghiệm của phương trình (*).

2.1. Ứng dụng định lí Lagrange trong việc giải phương trình và chứng minh phương trình có nghiệm.

Ví dụ1: Giải phương trình 

Với kỹ thuật tương tự có thể sáng tác nhiềù bài toán khác. Ngoài việc giải phương trình, chúng ta còn sử dụng định

lí Lagrange để chứng minh phương trình có nghiệm. Để có thể nắm bắt được kĩ thuật này, chúng ta xét  bài toán sau:

Ví dụ2: Tồn tại a, b hay không để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt  .

Nhận xét: Trong bài này, chúng ta sử dụng định lí Lagrange để chứng tỏ không tồn tại một bộ tham số a, b, c để một phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

2.2. Sử dụng định lí Lagrange, với một hàm số thỏa mãn một số điều kiện cho trước có thể xây dựng nên một số bài toán liên quan đến sự tồn tại một số giá trị thỏa mãn một đẳng thức cho trước. Để làm rõ ý tưởng này, chúng ta xét một số bài toán sau.

Ví dụ3:  Cho f(x) liên tục trên đoạn , có đạo hàm trên khoảng  sao cho

 và .Chứng minh rằng tồn tại  để:

2-3. Chúng ta có thể sử dụng định lí Lagrange trong giải hệ phương trình.

Ta xét bài toán sau:

Ví dụ 4:. Giải hệ phương trình

                   

2.4. Sáng tác bài toán mới.

Xuất phát từ một đa thức có số nghiệm cho trước, ta có thể xây dựng nên một đa thức khác cũng có số nghiệm bằng số nghiệm của đa thức ban đầu. Đây là cơ sở để chúng ta có thể sáng tác ra nhiều bài toán mới liên quan đến số nghiệm thực của một đa  thức.

Ví du 5: Cho đa thức với hệ số thực  bậc n ,  có m nghiệm thực kể cả bội. Chứng minh rằng đa thức  có ít nhất m nghiệm thực kể cả bội.

3. Khả năng áp dụng của giải pháp.

  -Các đối tượng là học sinh khá giỏi có thể nắm bắt được  và giáo viên có thể vận dụng dễ dàng trong quá trình dạy học sinh khá giỏi và bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi các cấp.

4. Hiệu quả kinh tế, giáo dục.

  - Học sinh nắm được phương pháp dễ dàng và có thể vận dụng ngay tạo cho học sinh niềm hứng thú trong học tập và sự tự tin vào chính mình, hình thành dần niềm đam mê khoa học là nền tảng trong học tập, nghiên cứu và lao động sau này.

  -Trong năm học 2002-2003, tác giả đã bồi dưỡng cho đội tuyển học sinh giỏi của trường THPT Hoài Ân. Đề thi học sinh giỏi lớp 12 của tỉnh Bình Định năm học đó có bài phải sử dụng định lý Lagrange mới giải được (có nêu trong phần bài tập của tài liệu này). Nhờ được bồi dưỡng phương pháp này nên có 4 trong 5 thành viên của đội tuyển đều giải được và kết quả năm học đó trường THPT Hoài Ân có 4 học sinh đạt giải học sinh giỏi toán lớp 12 cấp tỉnh (1 giải nhì, 1 giải 3 và 2 giải khuyến khích). Phương pháp này truyền đạt cho học sinh các lớp chuyên Toán khoá 2004-2007 và lớp 10 chuyên Toán năm học 2008-2009, các em vận dụng tương đối tốt để giải các bài toán được tác giả nêu ra và một số bài toán được đăng trên báo Toán học & Tuổi trẻ và trong các đề thi đại học của một số trường trước khi Bộ Giáo dục và Đào tạo tổ chức thi ba chung.

 

Đào Xuân Luyện  GV Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định-2009